数学家仍在试图理解傅里叶变换的基本性质——这是他们最普遍且强大的工具之一。一项新成果标志着朝着这一目标迈出了激动人心的一步。

引言

两个世纪前，Joseph Fourier 给了数学家一种神奇的技术。他猜想几乎任何函数都可以写成简单波的和，这个技巧现在被称为傅里叶变换。如今，傅里叶变换被用于理解从遥远恒星的化学构成到地壳深处发生的一切。

"傅里叶级数在数学中无处不在，"哥伦比亚大学的Mehtaab Sawhney说。"数学家们坚信傅里叶级数是重要的。"

然而，关于傅里叶变换的一些基本问题却一直顽固而神秘地无法得到解答。

1965年，数学家Sarvadaman Chowla提出了这样一个问题。他想知道一种极其简单的傅里叶变换——余弦波的和——可以变得多小。他的问题听起来很直接，但不知何故，却并非如此。

展开剩余91%

"这个问题有点像诱饵，"Sawhney 说；它旨在揭示数学家所知是多么有限。"因为我们无法证明这一点，显然我们完全不了解这些和的结构。"

几十年来，数学家们都在为 Chowla 的余弦问题而苦苦挣扎。它成为了傅里叶分析技术的一个基准，用于探索这些技术能在多大程度上探测数字序列的深层结构。结果令人沮丧。"进展完全停滞不前，"牛津大学的Tom Sanders说。

去年九月，情况突然发生了变化。四位数学家——Zhihan Jin、Aleksa Milojević、István Tomon和 Shengtong Zhang——发表了20年来在该问题上的首次重大进展。他们的策略与传统傅里叶分析几乎毫无关系。

事实上，在去年夏天之前，这四位甚至从未听说过 Chowla 的余弦问题。

探寻最小值

在20世纪50年代初，Chowla 和他的数论同行 Nesmith Ankeny想使用傅里叶变换来更好地理解数字集合中的模式。考虑由数字2、3和8组成的集合。首先，用集合中的每个数字定义一个余弦波——例如，2给出cos(2x)。然后将所有波相加得到cos(2x) + cos(3x) + cos(8x)。这只是将原始集合写成傅里叶级数的另一种方式。这个级数结构非常简单：所有波都是余弦波，并且因为任何余弦前面都没有数字，所有波的大小都相同。"这是你能拥有的最简单类型的傅里叶级数，"剑桥大学的 Benjamin Bedert说。"而且总的来说，我们对傅里叶级数了解很多。"

由cos(2x) + cos(3x) + cos(8x)定义的新波具有峰谷，揭示了原始数字集合的有趣性质。因此，Ankeny 和 Chowla 试图测试他们对这样一个级数的真实理解程度。他们想知道：对于任意N个整数的集合，这个和能达到的最小值是多少？

这个和的最大值很容易计算。当x为零时，任何余弦波都在1处达到最大值。所以我们的三个余弦波之和是1 + 1 + 1，即3。同样，1000万个余弦波之和的最大值是1000万。对于任意N个整数的集合，最大值就是N。

然而，理解余弦和的最小值却出奇地困难。虽然不同的波至少有一次同时达到最大值（当x为零时），但对于最小值则不然。也许不同波的最低点仍然会足够对齐，从而产生非常低的和。或者，这些波可能会相互干扰，使得和不可能降得太低。

Zhihan Jin（左）、Aleksa Milojević（右上）和 István Tomon 着手解决图论中的一个主要问题。在此过程中，他们无意中为傅里叶变换上一个看似不相关的问题提出了一种新方法。

1952年，Ankeny 和 Chowla 推测，正如最大值随着原始集合中整数数量的增加而越来越高，最小值也应该越来越低（打开新标签页）。几年后这一点被证明——促使 Chowla 在1965年更精确地提出了这个问题。他想知道随着N的增长，最小值下降的速度到底有多快。

他知道存在一些N个整数的集合，其余弦和的最小值大约在-√N附近。他能想到的其他所有集合的最小值甚至更低，这使他猜想：对于任意N个正整数的集合，相应余弦和的最小值必须低于-√N。

在随后的几十年里，一些数学家逐渐推进了这个问题。但到21世纪中期，他们能够证明的结果与 Chowla 的预测之间仍然存在巨大鸿沟。根据最新的界限，由匈牙利阿尔弗雷德·雷尼数学研究所的 Imre Ruzsa 在2004年证明，1020个余弦之和——即1后面跟着20个零，大约是一立方英寸空气中的分子数——必须具有小于约-7的最小值。相比之下，Chowla 预测最小值必须低于-1010。

然而，在过去20年里，百家乐Ruzsa 的结果一直代表着 Chowla 余弦问题进展的顶峰。

然后，一个完全无关的研究项目最终打破了这一壁垒。

架起桥梁

该项目涉及由节点和边组成的网络，称为图。

去年夏天，两组图论学家——欧洲的 Jin、Milojević 和 Tomon，以及斯坦福大学的 Zhang——正热切地推进图论中最核心问题之一。"最大割"问题涉及如何最优地将一个图切割成两部分，使得连接两部分的边尽可能多。这是一个关于图结构的基本问题，具有实际应用：例如，图的最大割可能代表一种高效的电路设计，或者一个粒子系统的最低能量状态。

但目前没有放之四海而皆准的方法来寻找一个图的最大割。（这被称为NP难问题。）因此，数学家们转而尝试估计特定类型图的最大割。

2003年，苏黎世联邦理工学院的数学家 Benjamin Sudakov（他后来指导了 Jin、Milojević 和 Tomon）提出了一个关于特定类型图的最大割的猜想。这种图没有团——即所有节点都相互连接的节点簇。

相互连接的节点簇形成一个团。这个图有一个五节点的团，以红色突出显示。

去年七月，二十多年后，Zhang 证明了关于此类图最大割的一个新界限。几天后，Jin、Milojević 和 Tomon 改进了他的结果。

为此，研究人员调查了称为特征值的重要量。特征值提供了关于图结构的信息。例如，最大特征值计算图中边的数量；第二大特征值衡量图的连通性。Jin、Milojević、Tomon 和 Zhang 专注于负特征值，基于最近一系列将负特征值与图的最大割联系起来的研究。他们对这些特征值的分析最终使他们能够证明他们的新结果。

数学家们决定将他们各自的结果合并成一篇联合论文。但在完成之前，他们收到了一封关于 Chowla 余弦问题的意外电子邮件。

凯莱图

这封邮件来自印第安纳州普渡大学的数学家 Ilya Shkredov。作为一位数论学家，Shkredov 指出，Chowla 的余弦问题可以用图来重新表述。不是团队正在研究的一般类型的图，而是一种由数学家 Arthur Cayley 在1878年发明的特殊类型的图。

要构建一个凯莱图，北京pk10官网想象你再次处理集合{2， 3， 8}。从一堆节点开始——节点数量并不重要，只要节点数是素数且大于集合中最大的整数即可。接下来，将节点排列成一个圆，并为每个节点标记一个整数。然后，如果两个节点之间的差值在原始集合中，就在它们之间放置一条边。因此，标记为1和3的节点将由一条边连接，因为它们的差是2，而2在集合{2， 3， 8}中。

到20世纪70年代，数学家们已经发现凯莱图的结构中嵌入了来自 Chowla 问题的傅里叶级数的信息。事实证明，凯莱图的特征值恰好对应余弦和可以取的不同值。因此，最小特征值告诉你余弦和能有多低。

{jz:field.toptypename/}

"这是众所周知的事情，"Milojević说。"这种联系非常经典。"

它允许数学家重新表述这个问题。如果他们能证明凯莱图的最小特征值变得非常小，那就意味着余弦和也必须变得非常小——这正是 Chowla 余弦问题的核心。

但没人能弄清楚如何利用这种联系。

"只有当你有一把锤子时，你才会试图用它敲钉子，"Sudakov 说。数学家们没有一种足够精确分析最低特征值的方法，以找出他们想知道的关于余弦和最小值的信息。

Shengtong Zhang 在著名的"最大割"问题上取得了重大进展，这是一个关于图的基本问题，具有大量实际应用。

但在他们对图的最大割的研究中，Jin、Milojević、Tomon 和 Zhang 无意中制造了一把锤子。在研究图的特征值与其结构的关系时，他们发现任何没有低特征值的图必定由团主导。Shkredov 阅读他们的证明后意识到，这意味着该团队实际上再次重新表述了 Chowla 的余弦问题：不再需要直接分析特征值。相反，他们只需要证明凯莱图没有任何大的团。这将意味着每个图都有一个非常低的特征值，最终使他们能够利用 Chowla 猜想和图论之间的联系。

从那时起，"我认为主要的障碍是相信我们能做到，"Tomon 说。

团的理解

当 Shkredov 发送电子邮件时，数学家们都在度假。但 Tomon 正在访问他的家乡布达佩斯，他抽出时间研究了一下凯莱图。

稍微思考后，"一下子就明白了，"他说。

为了理解 Tomon 的想法如何运作，让我们回到集合{2， 3， 8}的凯莱图。请记住，证明 Chowla 的猜想意味着证明该图的最小特征值变得非常低。所以首先假设相反的情况：没有任何特征值是低的。你将想证明这个假设最终会导致矛盾。

基于该团队在最大割上的工作，如果凯莱图没有小特征值，那么它必须有一个大团——比如说，五个节点都相互连接。这反过来意味着，如果你取这些节点中的任意两个，它们的整数标签之间的差是2、3或8。

使用完全不同的技术，Benjamin Bedert 离解决 Chowla 的余弦问题更近了一步。

但现在给每个节点加1，得到一组新的五个节点。它们之间的差将与第一组相同，这意味着它们也将形成一个团。继续这样做，你会产生越来越多的团。但有一个问题：团有很多边，而基于其定义方式的凯莱图具有相对较少的边，并且这些边遵循非常特定的结构。最终，你会得到如此多的团，以至于生成的边数超过了凯莱图能够容纳的数量。这意味着之前存在一个大团的假设肯定是错误的。这反过来又意味着最小特征值必须是低的。

一旦 Tomon 弄清楚了这一点，证明的其余部分就相对容易地组合起来了。九月，他、Jin、Milojević 和 Zhang 将他们的联合论文发布到了网上。论文主要侧重于如何分析图的最低特征值——这项工作使他们能够加强几个月前在无团图的最大割方面发现的界限。

但他们最重要的成果是关于 Chowla 的余弦问题。他们证明了对于任意N个整数的集合，相应的余弦和会达到一个低于-N^(1/10)的值。对于任何实际的N值，-N^(1/10)与 Ruzsa 几十年前的界限相差不大。但对于巨大的N值，比如10^20，差异开始变得明显：Jin、Milojević、Tomon 和 Zhang 证明，10^20个余弦之和会低于-100，相比之下 Ruzsa 的界限是-7。

"对我来说，这非常令人惊讶，"Sudakov 说。该团队从一个关于图的结果开始，却出人意料地获得了一个看似无关问题的新见解。

就在研究人员发布论文两天后，剑桥数学家 Bedert 使用傅里叶分析中更传统的方法，发布了他自己对该问题的进展。他的结果以微弱的优势超过了团队的界限：它指出，对于任意N个整数的集合，余弦和达到的值小于-N^(1/7)。对于10^20，这使 Jin、Milojević、Tomon 和 Zhang 确定的最小值从-100降低到大约-720。

但数学家们发现最值得注意的是，这两项成果都标志着首次有一个已证明的估计具有与 Chowla 猜想界限相同的形式。也就是说，新的界限，像 Chowla 的一样，可以写成N的幂。（Chowla 的界限-√N等价于-N^(1/2)。）Ruzsa 之前的估计无法写成这种形式。

围绕傅里叶变换的迷雾仍然浓密。但这些新技术在穿透迷雾方面稍好了一些。

尽管两个证明都还没有完全弥合差距以证明 Chowla 的猜想，但数学家们都很兴奋。目前，"我认为这有点像登月或四分钟跑一英里，"Sanders 说。"目前还不清楚这将开启什么。"

图在这个故事中扮演的角色尤其引人入胜。这并不是图论和傅里叶分析第一次相遇。但到目前为止，这两个领域之间的联系都是孤立的。现在，Jin 希望 Chowla 余弦问题与最大割之间的具体联系暗示着更广泛的联系。"Chowla 问题中预测的任何现象都更具普遍性，"他说。"它在图中也适用。"

"我们现在有了更多处于相同影响范围的问题，"Sawhney 说。"知道事物生活在同一个世界里是非常有用的信息。它非常强大。"

参考来源

https://www.quantamagazine.org/networks-hold-the-key-to-a-decades-old-problem-about-waves-20260128/

https://www.quantamagazine.org/what-is-the-fourier-transform-20250903/

https://arxiv.org/abs/2509.03490

发布于：甘肃省